Q

Webサーバが自動的に検索するファイル名の優先順位を変更することは可能でしょうか？

可能です。
.htaccessにより設定を上書きすることができますので、優先順位を変更されたいディレクトリに次の .htaccess ファイルを配置し、DirectoryIndex に優先順位の高いファイルから記述してください。.htaccessのパーミッションは 604 です。
参考例1)
DirectoryIndex index.cgi index.shtml index.html index.htm index.php index.php3 index.phtml index.jsp

参考例2)
DirectoryIndex top.html top2.html top3.html

（DirectoryIndex は、http://ドメイン名/ のようにファイル名を含まずアクセスした場合、DirectoryIndex で指定した左のファイルから順に自動的に検索し、一致した場合にファイルを表示（実行）します。）